Question

(13分)已知圓O：x2＋y2＝3的半徑等于橢圓E：＝1(a>b>0)的短半軸長，橢圓E的右焦點F在圓O內，且到直線l：y＝x－的距離為－，點M是直線l與圓O的公共點，設直線l交橢圓E于不同的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求橢圓E的方程；

(2)求證：|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.

 

Answer 1

（1）＝1（2）見解析

【解析】(1)設點F(c，0)(c>0)，則F到直線l的距離為＝，即|c－|＝－1，

因為F在圓O內，所以c<，故c＝1.

又因為圓O的半徑等于橢圓E的短半軸長，所以b2＝3，

所以所求橢圓方程為＝1.

(2)證明：因為圓心O到直線l的距離為＝，所以直線l與圓O相切，M是切點，故△AOM為直角三角形，所以|AM|＝，又＝1，可得|AM|＝x1，

|AF|＝，又＝1，可得|AF|＝2－x1，

所以|AF|＋|AM|＝2，同理可得|BF|＋|BM|＝2，

所以|AF|＋|AM|＝|BF|＋|BM|，即|AF|－|BF|＝|BM|－|AM|.