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【題目】已知a，b，c均為正數，且a+2b+3c=9．求證： + + ≥ ．

【答案】證明：由a，b，c均為正數，運用柯西不等式可得：

（a+2b+3c）（ + + ）≥（ + + ）2

=（ + + ）2=1，

由a+2b+3c=9，可得 + + ≥ ，

當且僅當a=3b=9c，即a= ，b= ，c= 時，等號成立．


【解析】由a，b，c均為正數，運用柯西不等式可得（a+2b+3c）（ + + ）≥（ + + ）2，

化簡整理，結合條件即可得證．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解不等式的證明的相關知識，掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知m＞0，n＞0， +mn的最小值為t．
（1）求t值
（2）解關于x的不等式|x﹣1|＜t+2x．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】執行如圖所示的程序框圖，若輸入的a=16，b=4，則輸出的n=（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，（e=2.71828）
（1）試討論f（x）在（0，+∞）上的單調性；
（2）①設g（x）=x+ ，x∈（0，+∞），求g（x）的最小值； ②證明： ≥1﹣x．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy 中，F，A，B 分別為橢圓 的右焦點、右頂點和上頂點，若
（1）求a的值；
（2）過點P（0，2）作直線l 交橢圓于M，N 兩點，過M 作平行于x 軸的直線交橢圓于另外一點Q，連接NQ ，求證：直線NQ 經過一個定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若 是函數 圖象的一條對稱軸，當ω取最小正數時（ ）
A.f（x）在 單調遞減
B.f（x）在 單調遞增
C.f（x）在 單調遞減
D.f（x）在 單調遞增

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試．根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分． 現設n=4，分別以a1 ， a2 ， a3 ， a4表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，
則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述．
（Ⅰ）寫出X的可能值集合；
（Ⅱ）假設a1 ， a2 ， a3 ， a4等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列；
（Ⅲ）某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有X≤2，
①試按（Ⅱ）中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由．

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【題目】已知函數f（x）=|x+a|+|x+ |（a＞0）
（1）當a=2時，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）證明：f（m）+f（﹣ ）≥4．

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【題目】以直角坐標系的原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程為 ，（t為參數，0＜θ＜π），曲線C的極坐標方程為ρsin2α﹣2cosα=0．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，當θ變化時，求|AB|的最小值．

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