【題目】已知若干個長方體盒子，其棱長均為不大于正奇數
的正整數（允許三棱長相同），且盒壁厚度忽略不計，每個盒子的三組對面分別染為紅、藍、黃三色，若沒有一個盒子能以同色面平行的方式裝入另一個盒子中，則稱這些盒子是“和諧的”，求最多有多少個和諧盒子？
【答案】
【解析】
設和諧盒子最多有
個，在空間直角坐標系中，坐標面
，
，
分別染為紅、藍、黃三色，將上述盒子放入坐標系中，使其共頂點的三面分別放入同色的坐標面中，則每個盒子與一個整數有序數組
一一對應，其中，
、
、
、
，、、
.從而，和諧盒子集合對應一個空間直角坐標系中的點集
，
，滿足對于任意中的兩點
，
，有
， ①其中，
.
設
，其中，
，令
，
.顯然，中任意兩點至多有一個分量相同，即
，且對任意
，
，有
. ②
將
中各元按
分量的大小排序，記為
，其中，
.由式①知
.故
，如圖，在
坐標平面內記
，
，其中，
，
，
，
.從而，式②等價于
. ③
對于
，若
，則將所有
中的點并入中，將新集合記為
，則
仍滿足式③，對繼續上述調整，直至
，此時，仍記為
，將各點依次連成一條折線，則所有組成
中互不相交
條折線，故
，當
，即
時，上式等號成立.
綜上，和諧盒子至多有個.
智趣寒假作業云南科技出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市教學研究室為了對今后所出試題的難度有更好的把握，提高命題質量，對該市高三理科數學試卷的得分情況進行了調研．從全市參加考試的理科考生中隨機抽取了100名考生的數學成績（滿分150分），將數據分成9組：
，
，
，
，
，
，
，
，
，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．用統計的方法得到樣本標準差
，以頻率值作為概率估計值．
（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，求抽取的100名理科考生數學成績的平均分
及眾數
；
（Ⅱ）用頻率估計概率，從該市所有高三理科考生的數學成績中隨機抽取3個，記理科數學成績位于區間
內的個數為
，求的分布列及數學期望
；
（Ⅲ）從該市高三理科數學考試成績中任意抽取一份，記其成績為
，依據以下不等式評判（
表示對應事件的概率）：
①
，②
，
③
，其中
．
評判規則：若至少滿足以上兩個不等式，則給予這套試卷好評，否則差評．試問：這套試卷得到好評還是差評？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系
中，直線
的參數方程是
（
為參數)，以坐標原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
．將曲線上每一點的橫坐標伸長到原來的兩倍（縱坐標不變）得到曲線
．
（1）求曲線的直角坐標方程；
（2）已知點
，若直線與曲線交于
，
兩點，且
，求直線的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為鼓勵應屆畢業大學生自主創業，國家對應屆畢業大學生創業貸款有貼息優惠政策，現有應屆畢業大學生甲貸款開小型超市，初期投入為72萬元，經營后每年的總收入為50萬元，該公司第
年需要付出的超市維護和工人工資等費用為
萬元，已知
為等差數列，相關信息如圖所示.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）該超市第幾年開始盈利？（即總收入減去成本及所有費用之差為正值）
（Ⅲ）該超市經營多少年，其年平均獲利最大？最大值是多少？（年平均獲利
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】考慮
的方格表，其中每個方格內均填有數字0．每次操作可先選定三個實數
、
、
，然后選定一行，將這一行每個方格中的數都加上
（
為該方格所在的列數，
）；或選定一列，將這一列每個方格中的數都加上
（
為該方格所在的行數，
），問：能否經過有限次操作，使該方格表中四個角的數字變成1，而其他格的數字仍為0？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將
方格表的每個方格任意填入
或
，然后允許進行如下操作：每次任意選擇一行（或列），將這一行（或列）中的數全部變號.若無論開始時方格表的數怎樣填，總能經過不超過
次操作，使得方格表每一行中所有數的和、每一列中所有數的和均非負.試確定的最小值
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為抗擊新冠病毒，某部門安排甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名專家，其中甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作，丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作，則不同的分配方法總數為（ ）
A.18B.24C.30D.36
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