Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知 ． （Ⅰ）若b= ，當△ABC周長取最大值時，求△ABC的面積；
（Ⅱ）設 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵1﹣ = = = ，化簡可得：a2+c2﹣b2=ac，則 =1， ∴cosB= = ，
又∵B∈（0，π），
∴B=
∵由正弦定理可得： ，
∴△ABC的周長l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2sinA+ +2sin（ ﹣A）
=3sinA+ cosA+ =2 sin（A+ ）+ ，
∵0 ，
∴ ＜A+ ＜ ，當A+ = 時，即A= 時，△ABC周長l取最大值3 ，由此可以得到△ABC為等邊三角形，
∴S△ABC=
（Ⅱ）∵ =6sinAcosB+cos2A=3sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣ ）2+ ，
∵0 ，
∴0＜sinA≤1，
當sinA= 時， 取得最大值 ，
∴ 的取值范圍為（1， ]
【解析】（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知可得：a2+c2﹣b2=ac，利用余弦定理可得cosB= ，又B∈（0，π），可求B的值，由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得△ABC的周長l=a+b+c=2（sinA+sinB+sinC）=2 sin（A+ ）+ ，由0 ，可得 ＜A+ ＜ ，當A+ = 時，即A= 時，△ABC周長l取最大值3 ，可得△ABC為等邊三角形，利用三角形面積公式即可得解．（Ⅱ）利用平面向量的數量積的運算，三角函數恒等變換的應用可得 =﹣2（sinA﹣ ）2+ ，由范圍0 ，可求0＜sinA≤1，利用二次函數的圖象和性質即可解得 的取值范圍．
【考點精析】掌握正弦定理的定義和余弦定理的定義是解答本題的根本，需要知道正弦定理:；余弦定理:;;．