Question

【題目】已知點A（1，0），圓E：（x+1）2+y2=16，點B是圓E上任意一點，線段AB的垂直平分線l與半徑EB相交于H.

（1）當點B在圓上運動時，求動點H的軌跡г的方程：

（2）過點A且與坐標軸不垂直的直線交軌跡г于、兩點，線段OA（O為坐標原點）上是否存在點使得若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）運用垂直平分線定理可得，，可得，由橢圓的定義即可得到所求軌跡方程；（2）設直線的方程為，聯立直線和橢圓的方程得到韋達定理，利用韋達定理求出PQ中點G的坐標，得到，得到，求出m的范圍得解.

（1）根據題意，，

所以,

則,

故動點的軌跡г是以，為焦點，長軸長為4的橢圓．

設其方程為，

可知，，，

所以點的軌跡г的方程為；

（2）設直線的方程為，

設，，，聯立，

得，

由韋達定理有①，其中△恒成立，

所以PQ的中點G的坐標為，

所以直線MG的斜率為

因為,

所以，

所以，

當k=0時，m=0;

當時，.

綜合得.