Question

【題目】設滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：①；②.

(1)分別寫出一個單調遞增的3階和4階“期待數列”；

(2)若某2013階“期待數列”是等差數列，求該數列的通項公式；

(3)記階“期待數列”的前項和為，試證：.

Answer 1

【答案】（1）數列，0，為三階期待數列，數列，，，為四階期待數列；(2)；(3)證明見解析.

【解析】

（1）數列，0，為三階期待數列，數列，，，為四階期待數列．

（2）設該2013階“期待數列”的公差為，由于，可得，，對分類討論，利用等差數列的通項公式即可得出．

（3）當時，顯然成立；當時，根據條件①得：，即，再利用絕對值不等式的性質即可得出．

解：（1）數列，0，為三階期待數列，

數列，，，為四階期待數列．

（2）設該2013階“期待數列”的公差為，

，，

，即，

，

當時，與期待數列的條件①②矛盾，

當時，據期待數列的條件①②可得，

，即，

，，

當時，同理可得，，．

（3）當時，顯然成立；

當時，根據條件①得：，

即，

，

，2，，．