【題目】已知函數
.
（1）討論
的單調性；
（2）若存在兩個極值點
，
，且
，證明：
.
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】
（1）先求函數的定義域，求導后對
分成
三類，討論函數的單調區間.（2）由（1）知當且僅當
時，
存在兩個極值點，同時用韋達定理寫出這兩個極值點的關系.化簡
，并利用導數求得上式表達式的單調區間以及最值，由此證得不等式成立.
（1）解：的定義域為
，
.
①當
時，
對
恒成立，則在上單調遞增；
②當
時，令
，得
，
.
（�。┊�時，
，
當
時，
；當
時，
.
所以在
，
上單調遞增，
在
上單調遞減.
（ⅱ）當
時，
，
當
時，；當
時，.
所以在
上單調遞減，在上單調遞增.
（2）證明：由（1）知當且僅當時，存在兩個極值點.
因為的兩個極值點
，
滿足
，所以
，
又
，則
.
，
令
，
，則
.
因為，所以
，
，即
，所以
在
上單調遞減.
因為
，所以
，
從而
.
輕松奪冠全能掌控卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知一條動直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，
（1）求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；
（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，是否存在直線滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6，若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.
（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當
取最小值時，求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某次考試后，對全班同學的數學成績進行整理，得到表：
分數段 |
|
|
|
|
人數 | 5 | 15 | 20 | 10 |
將以上數據繪制成頻率分布直方圖后，可估計出本次考試成績的中位數是__________．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知標準方程下的橢圓
的焦點在
軸上，且經過點
，它的一個焦點恰好與拋物線
的焦點重合．橢圓
的上頂點為
，過點
的直線交橢圓于
兩點，連接
、
，記直線
的斜率分別為
.
(1)求橢圓
的標準方程；
(2)求
的值.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調遞減區間；
（Ⅱ）若
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若數列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
【答案】（I）
；（II）
；（III）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）求出
，在定義域內，分別令
求得
的范圍，可得函數
增區間， 
求得
的范圍，可得函數
的減區間；（Ⅱ）當
時，因為
，所以
顯然不成立，先證明因此
時， 
在
上恒成立，再證明當
時不滿足題意，從而可得結果；（III）先求出等差數列的前
項和為
，結合（II）可得
，各式相加即可得結論.
試題解析：（Ⅰ）由
，得
.所以
令
，解得
或
（舍去），所以函數
的單調遞減區間為 
.
（Ⅱ）由
得， 
當
時，因為
，所以
顯然不成立，因此
.
令
，則
，令
，得
.
當
時， 
， 
，∴
，所以
，即有
.
因此
時， 
在
上恒成立.
②當
時， 
， 
在
上為減函數，在
上為增函數，
∴
，不滿足題意.
綜上，不等式
在
上恒成立時，實數
的取值范圍是
.
（III）證明：由
知數列
是
的等差數列，所以
所以
由（Ⅱ）得， 
在
上恒成立.
所以
. 將以上各式左右兩邊分別相加，得
.因為
所以
所以
.
【題型】解答題
【結束】
22
【題目】已知直線
， (
為參數， 
為傾斜角).以坐標原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的直角坐標方程為
.
（Ⅰ）將曲線
的直角坐標方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）設點
的直角坐標為
，直線
與曲線
的交點為
、
，求
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對任意實數a，b，c，給出下列命題：
①“
”是“
”的充要條件
②“
是無理數”是“a是無理數”的充要條件；
③“
”是“
”的充分不必要條件
④“
”是“
”的必要不充分條件，
其中真命題的個數為（ ）
A.1B.2C.3D.4
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝ln (x＋1)－
－x，a∈R.
(1)當a>0時，求函數f(x)的單調區間；
(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－
(a∈Z)成立，求a的最小值．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并委托醫療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統計，樣本分布被制作成如下圖表：
（1）若采用分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取8人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？
（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；
（3）據統計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發放生活補貼，標準如下：
①80歲及以上長者每人每月發放生活補貼200元；
②80歲以下老人每人每月發放生活補貼120元；
③不能自理的老人每人每月額外發放生活補貼100元.
利用樣本估計總體，試估計政府執行此計劃的年度預算.（單位：億元，結果保留兩位小數）
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
