Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，為短軸的一個端點且（其中為坐標原點）.

（1）求橢圓的方程;

（2）若、 分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點，理由見解析

【解析】

(1)本題首先可以根據得出、的值，然后通過、的值即可計算得出的值并得出橢圓方程；

(2)本題首先可以根據(1)中結論得出、兩點坐標，然后設出直線的方程以及點坐標，再然后聯立橢圓以及直線方程得出以及，最后根據即可得出結果。

(1)因為，

所以，，

所以橢圓方程為。

(2)由(1)可知，，

設直線的方程為，，則，

聯立橢圓以及直線可得，整理得，

方程顯然有兩個解，由韋達定理可得，得，，

所以，

設，若存在滿足題設的點，則，

由，整理可得恒成立，

所以，故存在定點滿足題設要求。