Question

【題目】f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0則不等式f（x）g（x）＜0的解集為（ ）
A.（﹣1，0）∪（1，+∞）
B.（﹣1，0）∪（0，1）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設h（x）=f（x）g（x）， 因為當x＜0時，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
所以當x＜0時，h′（x）＜0，
所以函數y=h（x）在（﹣∞，0）單調遞減，
又因為f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，
所以函數y=h（x）為R上的奇函數，
所以函數y=h（x）在（0，+∞）單調遞減，
因為f（﹣1）=0，
所以函數y=h（x）的大致圖象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集為（﹣1，0）∪（1，+∞）
故選A．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．