Question

20. 在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南

（�。絘rccos）方向300 km的海面P處，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移動.臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60 km，并以10 km/h的速度不斷增大.問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？

Answer 1

20.解法一：設在時刻t（h）臺風中心為Q，此時臺風侵襲的圓形區域半徑為10t+60（km）.

　若在時刻t城市O受到臺風的侵襲，則OQ≤10t+60.

　由余弦定理知OQ²＝PQ²＋PO²－2·PQ·POcosOPQ.

　由于    PO=300，PQ=20t，

　　　　cosOPQ＝cos（－45°）

                     　 ＝coscos45°+sinsin45°

                        ＝×+×

                 　�。�，

　故       OQ²=（20t）²+300²－2×20t×300×

                 ＝20²t²－9600t+300².

 

　因此    20²t²－9600t+300²≤（10t+60）²，

　即              t²－36t+288≤0，

　解得           　12≤t≤24.

　答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.

　

解法二：如圖建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向.

　在時刻t（h）臺風中心的坐標為

                    

　此時臺風侵襲的區域是（x－）²+（y－）²≤[r（t）]²，

　其中r（t）＝10t+60.

若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則有（0－）²+（0－）²≤（10t+60）²，

 

　即       （300×－20×t）²+（－300×＋20×t）²≤（10t+60）²，

　

即       t²－36t+288≤0，解得    12≤t≤24.

答：12小時后該城市開始受到臺風的侵襲.