Question

已知函數．

（1）證明函數在區間上單調遞減；

（2）若不等式對任意的都成立，（其中是自然對數的底數），求實數的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數在區間上單調遞減；（2）.

【解析】

試題分析：（1）對原函數進行求導，難易判斷正負，再令，并求導，從而判斷出在上單調遞減，∴，即，所以函數在區間上單調遞減；（2）對不等式兩邊進行取對數，分離出參數，構造函數并求導，在令分子為一個新的函數求導，并利用（1）得時，，所以函數在上單調遞減，∴

所以，所以函數在上單調遞減.所以，所以函數在上最小值為，即，則的最大值為.

 

試題解析：（1），令，

，所以函數在上單調遞減，∴，

∴，∴函數在區間上單調遞減.

（2）在原不等式兩邊取對數為，由知

設

，

設，

，

由（1）知時，，

∴函數在上單調遞減，∴

∴，∴函數在上單調遞減.

∴，

∴函數在上最小值為，即

∴的最大值為.

考點：1.利用導數判斷函數單調性；2.分離參數求函數取值范圍.