如圖，四邊形PCBM是直角梯形，
，
∥
，
．又
，
，直線AM與直線PC所成的角為
．
（1）求證：
；
（2）求二面角
的余弦值.
解析試題分析：方法1：（1）∵
，∴
平面ABC，∴．5分
（2）取BC的中點N，連MN．∵
，∴
，∴
平面ABC．作
，交AC的延長線于H，連結MH．由三垂線定理得
，∴
為二面角的平面角．∵直線AM與直線PC所成的角為，∴在
中，
．
在
中，
．
在中，
．
在
中，
．
在
中，∵
，∴
．
故二面角的余弦值為
．13分
方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分
（2）在平面ABC內，過C作BC的垂線，并建立空間直角坐標系如圖所示．設
，則
．
． 5分
∵
，
且
，∴
，得
，∴
． 8分
設平面MAC的一個法向量為
，則由
得
得
∴
． 10分
平面ABC的一個法向量為
．
12分
顯然，二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．13分
考點：二面角的平面角，線線垂直
點評：解決的關鍵是借助于空間向量法或幾何性質法來得到證明和求解，屬于基礎題。
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，
為圓
的直徑，點
、
在圓上，
，矩形
所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）設
的中點為
，求證：
平面
；
（3）設平面將幾何體
分成的兩個錐體的體積分別為
，
，求
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知
,
,現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD
平面BDC（如圖乙），設點E、F分別為棱AC、AD的中點．
（1）求證：DC平面ABC；
（2）求BF與平面ABC所成角的正弦值；
（3）求二面角B－EF－A的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
是雙曲線
上一點，
、
分別是雙曲線
的左、右頂點，直線
，
的斜率之積為
.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過雙曲線的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于
，
兩點，
為坐標原點，
為雙曲線上一點，滿足
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，已知AC ⊥平面CDE, BD ∥AC , 
為等邊三角形，F為ED邊上的中點,且
，
（Ⅰ）求證：CF∥面ABE；
（Ⅱ）求證：面ABE ⊥平面BDE；
（Ⅲ）求該幾何體ABECD的體積。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
，AF=1，M是線段EF的中點．
（Ⅰ）求證AM//平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大�。�
（Ⅲ）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內，且平面ABCD ⊥平面DCEF，M，N分別為AB，DF的中點。
（1）求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求異面直線ME與BN所成角的余弦值。
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⊥平面
，
,
，
，
，
，
，
是
的中點．
平面
；
；
中，設
是棱
的中點.
；
平面
；
的體積.