Question

已知A={y|y=m²+1，-1≤m≤

2

}，求函數f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域．

Answer 1

分析：由題，可先化簡集合A，由于函數f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A是一個復合函數，可采取先求內層函數的值域，再求外層函數值域，令t=2^x，則函數可變為f（x）=4t-3t²，t∈[2，8]，求出此二次函數的值域即可得到函數f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域．

解答：解：A={y|y=m²+1，-1≤m≤

2

}={y|1≤y≤3}，
又f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A
令t=2^x，可得t∈[2，8]，
則有f（x）=4t-3t²，t∈[2，8]，
∴f（x）=-3（t-

2

3

）²+

4

3

∈[-160，-4]
∴函數f（x）=2^x+2-3•4^x，x∈A的值域[-160，-4]

點評：本題考點指數函數的值域，考察了指數型復合函數值域的求法，二次函數在閉區間上的值域，解題的關鍵是將求復合函數值域的問題轉化為兩步求解，先求內層函數值域再求函數值域，求解中用到了換元法及配方法，解題要注意這些技巧的使用，本題考查了轉化的思想