Question

【題目】已知冪函數f（x）=x﹣m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上單調遞增．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（x）﹣ax+1，a為實常數，求g（x）在區間[﹣1，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）因為冪函數f（x）=x﹣m2+m+2 在（0，+∞）上單調遞增，
所以﹣m2+m+2＞0，故﹣1＜m＜2．
又因為m∈Z，故m=0，或m=1，所以f（x）=x2 ．
（2）由（1）知g（x）=x2﹣ax+1，
①若≤﹣1，即a≤﹣2時，g（x）在[﹣1，1]上單調遞增，
所以g（x）mi n=g（﹣1）=a+2．
②若﹣1＜≤1，即﹣2＜a≤2時，
g（x）在[﹣1，]上單調遞減，[，1]上單調遞增，
所以g（x）min=g（\frac{a}{2}）=1﹣．
③若＞1，即a＞2時，g（x）在[﹣1，1]上單調遞減，
所以g（x）min=g（1）=2﹣a．
綜上：a≤﹣2時，g（x）在區間[﹣1，1]上的最小值為a+2；
﹣2＜a≤2時，g（x）在區間[﹣1，1]上的最小值為1﹣；
a＞2時，g（x）在區間[﹣1，1]上的最小值為2﹣a．
【解析】（1）由條件可得﹣m2+m+2＞0，解得m的范圍m．再結合m∈Z，求得m的值，可得f（x）的解析式．
（2）由（1）知g（x）=x2﹣ax+1，再分①若≤﹣1、②若﹣1＜≤1、③若＞1三種情況，分別利用二次函數的性質，求得g（x）min ． ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數在閉區間上的最值的相關知識，掌握當時，當時，；當時在上遞減，當時，．