Question

已知函數f(x)=log2

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）證明函數f（x）為奇函數；
（Ⅲ）判斷并證明函數的單調性．

Answer 1

分析：（I）根據使函數解析式有意義的原則，構造關于x的不等式，解不等式即可得到函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）由（I）中結論，可以得到函數的定義域關于原點對稱，進而判斷f（x）與f（-x）的關系，即可得到函數的奇偶性；
（III）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，構造兩個函數值的差，根據對數的運算性質，判斷差的符號，結合函數單調性的定義，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由

1+x

1-x

＞0，可得

1+x＞0 1-x＞0

或

1+x＜0 1-x＜0.

可得-1＜x＜1．
即函數f（x）的定義域為（-1，1）．              …（4分）
（Ⅱ）由f(-x)=log2

1-x

1+x

=-log2

1+x

1-x

=-f(x)，
所以函數f（x）為奇函數．                   …（8分）
（Ⅲ）任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=log2

1+x1

1-x1

-log2

1+x2

1-x2

=log2

(1+x1)(1-x2)

(1-x1)(1+x2)

=log2

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

，
由x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
可知0＜1+x₁-x₂+x₁x₂＜1-x₁+x₂+x₁x₂，
所以

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

＜1，
可得log2

1+x1-x2+x1x2

1-x1+x2+x1x2

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數f（x）在（-1，1）為增函數．                …（12分）

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，函數的奇偶性的判斷，對數函數的定義域，其中熟練掌握函數單調性，奇偶性的定義，即可得到答案．