Question

【題目】在平面直角坐標系中，、分別為橢圓的左、右焦點.設不經過焦點的直線與橢圓交于兩個不同的點、，焦點到直線的距離為.若直線、、的斜率依次成等差數列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】

【解析】

設直線，點，，聯立直線和橢圓的方程，得到韋達定理，根據直線、、的斜率依次成等差數列得到，代入得，

求出d=,再求函數d(k)的取值范圍得解.

由條件，知點、.

設直線，點，.

則、滿足，即

. ①

由于點與不重合，且直線的斜率存在，故、為方程①的兩個不同實根.

因此，式①的判別式

. ②

由直線、、的斜率、、依次成等差數列，知

.

假設.則直線的方程為，即經過點，不符合條件.

因此，.

故由方程①及韋達定理知

. ③

由式②、③知

.

反之，當、滿足式③及時，直線必不過點（否則，將導致，與式③矛盾）.

而此時、滿足式②，故直線與橢圓有兩個不同的交點、，同時，也保證了、的斜率存在（否則，、中的某一個為，結合，知，與方程①有兩個不同的實根矛盾）.

又點到的距離為

. ④

注意到，.

令.則.

故式④可改寫為

. ⑤

考慮到函數在區間上單調遞減，故由式⑤得

.