Question

【題目】已知函數的圖像與軸相切，.

（1）求證：；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出的導數，設的圖象與x軸相交于點，可得，解方程可得，原不等式等價于，設，求出導數和單調區間，可得極值、最值，即可得證；
（2）設，求出導數，運用（1）的結論可得單調遞增，再由不等式的性質可得，即，再運用的單調性和不等式的性質，證得，進而證得右邊不等式.

（1）由題得，設的圖像與軸相切于點，則

，即，解得，

所以，則，即為.

設，則.

當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.

所以，即，

所以；

（2）先證，設，則，

由（1）可知，當時，，從而有，所以單調遞增.

又，從而有，即，

所以，即.

再證，因為

，

又由（1）知，，故在單調遞增，

則，即，所以.

又，所以.

綜上可知，.