Question

【題目】已知函數在定義域內不單調

（1）求實數的取值范圍；

（2）若函數存在3個不同的零點，證明：存在，使得．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）根據函數不是單調函數，可得有兩個不同正根，只需函數，即可求解；

（2）令，求得的單調性，且，，根據存在3個不同的零點，得到及的表達式，令，求得，得到存在使得，又由，得出，

進而得到，

法一：令，利用導數求得函數的單調性和最值，即可求解；

法二：因為，得到有兩根，若是方程的兩根，對任意的有，由拉格朗日中值定理即可求解.

（1）因為函數不單調，

所以有兩個不同正根，

即得，

此時，，，所以．

（2）令的兩根為，且，

則在上遞增，上遞減，上遞增，

且，，，

因為存在3個不同的零點，且時，，時，，

所以，

同理，

令，則，得，

所以在上遞增，上遞減，

因為，所以，

又因為，當時，

所以存在使得，

因為，所以，

所以，所以，

法一：令，

，，所以有兩個根，

設為且，則在上單調遞減．

若，則，

即，即；

若同理可證，

所以對于任意的，不等式成立；

即存在，使得成立．

法二：因為，

所以有兩根，

若是方程的兩根，不妨令，則對任意的有

由拉格朗日中值定理知存在，使得

所以存在，使得．