Question

【題目】已知直角梯形ABCD中， 是邊長為2的等邊三角形，AB=5．沿CE將 折起，使B至 處，且 ；然后再將 沿DE折起，使A至 處，且面 面CDE， 和 在面CDE的同側．

(Ⅰ) 求證： 平面CDE；
(Ⅱ) 求平面 與平面CDE所構成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)證明：在直角梯形ABCD中，可算得

根據勾股定理可得 ，即： ，又 ， 平面CDE；

(Ⅱ) 以C為原點，CE為y軸，CB為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則 , ， ， ，作 ，因為面 面CDE，易知， ，且 ，

從平面圖形中可知： ，易知面CDE的法向量為

設面PAD的法向量為 ，且 ．

解得

故所求平面 與平面CDE所構成的銳二面角的余弦值為 ．

【解析】(1)由已知結合折疊特點得到B'C⊥DE，再利用勾股定理計算可得出B C ⊥ E C，結合線面垂直的判定定理即可得證B ' C ⊥ 平面CDE。(2)根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面PAD和平面CDE的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值即可。