Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex（Ⅰ）若函數f（x）在區間（0，9]為增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a≠0時，過原點分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l1 ， l2 ， 已知兩切線的斜率互為倒數，證明： ＜a＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx﹣a（x﹣1）得， f′（x）= ﹣a= ，
∵函數f（x）在區間（0，9]為增函數，
∴f′（x）≥0在區間（0，9]恒成立，
即 ≥0在區間（0，9]恒成立，
∴a≤ ，而 = ，
∴a∈（﹣∞， ]；
（Ⅱ）證明：設切線l2的方程為y=k2x，切點為（x2 ， y2），則y2=ex2 ，
k2=g′（x2）=ex2= ，
所以x2=1，y2=e，則k2=e．
由題意知，切線l1的斜率為k1= = ，l1的方程為y= x；
設l1與曲線y=f（x）的切點為（x1 ， y1），則k1=f′（x1）= ﹣a= = ，
所以y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ．
又因為y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，
整理得lnx1﹣1+ ﹣ =0．
令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ =0，
則m′（x）= ﹣ = ，m（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增．
若x1∈（0，1），因為m（ ）=﹣2+e﹣ ＞0，m（1）=﹣ ＜0，所以x1∈（ ，1），
而a= ﹣ 在x1∈（ ，1）上單調遞減，所以 ＜a＜ ．
若x1∈（1，+∞），因為m（x）在（1，+∞）上單調遞增，且m（e）=0，則x1=e，
所以a= ﹣ =0（舍去）．
綜上可知， ＜a＜ ．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，問題轉化為即 ≥0在區間（0，9]恒成立，即a≤ ，求出a的范圍即可；（Ⅱ）設切線l2的方程為y=k2x，從而由導數及斜率公式可求得切點為（1，e），k2=e；再設l1的方程為y= x；設l1與曲線y=f（x）的切點為（x1 ， y1），從而可得y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ；結合y1=lnx1﹣a（x1﹣1）可得lnx1﹣1+ ﹣ =0，再令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ ，從而求導確定函數的單調性，從而確定 ＜a＜ ，問題得證．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．