Question

【題目】已知函數f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），其中a＞0且a≠1，設h（x）=f（x）﹣g（x）
（1）求函數h（x）的定義域，判斷h（x）的奇偶性并說明理由
（2）解不等式h（x）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=loga（1+x），g（x）=loga（1﹣x），其中a＞0且a≠1，

∴h（x）=f（x）﹣g（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）

解 得，﹣1＜x＜1

∴h（x）的定義域為（﹣1，1）；

∵h（﹣x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）=﹣h（x）

∴h（x）為奇函數；

（2）解：由h（x）＞0得，loga（1+x）＞loga（1﹣x）；

①若a＞1，則：

解得：0＜x＜1

②若0＜a＜1，則：

解得：∴﹣1＜x＜0

∴a＞1時，使h（x）＞0的x的取值范圍為（0，1），0＜a＜1時，x的取值范圍為（﹣1，0）．

【解析】（1）由已知可得h（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x），進而可求函數的定義域，判斷函數的奇偶性；（2）由h（x）＞0得，loga（1+x）＞loga（1﹣x）；對底數進行分類討論，可得不同情況下不等式的解集．
【考點精析】本題主要考查了對數函數的單調性與特殊點的相關知識點，需要掌握過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數;0>a>1時在（0，+∞）上是減函數才能正確解答此題．