Question

【題目】已知函數（為常數，是自然對數的底數），曲線在點處的切線與軸平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）設,其中為的導函數.證明：對任意.

Answer 1

【答案】：（Ⅰ）；

（Ⅱ）的單調增為單調減區為.

（Ⅲ）見解析

【解析】

試題(1)根據導數的幾何意義，可知，所以先求函數的導數，然后代入，即得.

(2)根據導數求函數的單調區間，第一步先求，因為，所以，第二步，令，求，或的解集，即為函數的單調增，減區間；

（3）第一步先求函數，再設，第二步求，以及求函數的極值點，分析兩側的單調性以及最大值，第三步，分析當時，，所以，即命題成立.

試題解析：解 (1)由f(x)＝，

得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，

由于曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行．

所以f′(1)＝0，因此k＝1.

(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

當x∈(0,1)時，h(x)＞0；當x∈(1，＋∞)時，h(x)＜0.

又ex＞0，所以x∈ (0,1)時，f′(x)＞0；

x∈(1，＋∞)時，f′(x)＜0.

因此f(x)的單調遞增區間為(0,1)，單調遞減區間為(1，＋∞)

(3)因為g(x)＝xf′(x)，

所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，

由(2)得，h(x)＝1－x－xln x，

求導得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)．

所以當x∈(0，e－2)時，h′(x)＞0，函數h(x)單調遞增；

當x∈(e－2，＋∞)時，h′(x)＜0，函數h(x)單調遞減．

所以當x∈(0，＋∞)時，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.

又當x∈(0，＋∞)時，0＜＜1，

所以當x∈(0，＋∞)時，h(x)＜1＋e－2，即g(x)＜1＋e－2.

綜上所述結論成立