Question

【題目】設個不全相等的正數，，…，依次圍成一個圓圈.

（Ⅰ）設，且，，，…，是公差為的等差數列，而，，，…，是公比為的等比數列，數列，，…，的前項和滿足，，求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，，若數列，，…，每項是其左右相鄰兩數平方的等比中項，求；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，，求符合條件的的個數.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析.（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：利用，，，…，是公比為的等比數列，求出，又，解得，可得數列的通項公式；

確定出，依次類推

猜想，，，一共有個，再利用反證法進行證明即可

解析：（Ⅰ）因，，，…，是公比為的等比數列，

從而，，由得，

故解得或（舍去）.因此，又，解得.

從而當時， ，

當時，由，，，…，是公比為的等比數列得

.

因此.

（Ⅱ）由題意，，，∴，

得，，，，，.

（Ⅲ）猜想：，，一共有336個.

證明：，，得

.

又 ，④

故有，. ⑤

若猜想不成立，設，其中，

若取即，則由此得，

而由③得，故，得，由②得，從而，

而，故，由此推得與題設矛盾，

同理若均可得與題設矛盾，因此為6的倍數.