【題目】已知函數.
(1)求函數的單調區間;
(2)證明當時,關于
的不等式
恒成立;
(3)若正實數滿足
,證明
.
【答案】(1) 的單調遞減區間為
,函數
的單增區間為
;(2)(3)均見解析.
【解析】
試題分析:(1)求函數的導數,在函數的定義域內解不等式
即可求得函數的單調遞增區間與單調遞減區間;(2)令
,則
時,關于
的不等式
恒成立等價于
,在區間
上,
即可;(3) 由
,即
,令
,
,在區間
上,證
即可.
試題解析: (1) ,由
,得
.
又,所以
,所以
的單調遞減區間為
,函數
的單增區間為
.
(2)令,所以
,因為
,所以
,令
,得
,所以當
,當
時,
因此函數
在
是增函數,在
是減函數,故函數
的最大值為
,令
,因為
,又因為
在
是減函數,所以當
時,
,即對于任意正數
總有
,所以關于
的不等式
恒成立.
(3)由,即
,從而
,令
,則由
得,
,可知
在區間
上單調遞減,在區間
上單調遞增,所以
,所以
,又
,因此
成立.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校高三文科名學生參加了
月份的模擬考試,學校為了了解高三文科學生的數學、語文情況,利用隨機數表法從中抽取
名學生的成績進行統計分析,抽出的
名學生的數學、語文成績如下表.
(1)將學生編號為:, 若從第
行第
列的數開始右讀,請你依次寫出最先抽出的
個人的編號(下面是摘自隨機用表的第四行至第七行)
(2)若數學優秀率為,求
的值;
(3)在語文成績為良的學生中,已知,求數學成績“優”比“良”的人數少的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為了整頓食品的安全衛生,食品監督部門對某食品廠生產甲、乙兩種食品進行了檢測調研,檢測某種有害微量元素的含量,隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品,每個批次各隨機地抽取了一件,下表是測量數據的莖葉圖(單位:毫克).
規定:當食品中的有害微量元素的含量在時為一等品,在
為二等品,20以上為劣質品.
(1)用分層抽樣的方法在兩組數據中各抽取5個數據,再分別從這5個數據中各選取2個,求甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率;
(2)每生產一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣質品虧損20元,根據上表統計得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質品的頻率,分別估計這兩種食品為一等品、二等品、劣質品的概率,若分別從甲、乙食品中各抽取1件,設這兩件食品給該廠帶來的盈利為,求隨機變量
的分布列和數學期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知點,橢圓
:
的離心率為
,
是橢圓
的右焦點,直線
的斜率為
,
為坐標原點.
(1)求的方程;
(2)設過點的動直線
與
相交于
,
兩點,當
的面積最大時,求
的直線方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某學校為了解高三年級學生寒假期間的學習情況,抽取甲、乙兩班,調查這兩個班的學生在寒假期間每天平均學習的時間(單位:小時),統計結果繪成頻率分別直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學生人數相同,甲班學生每天平均學習時間在區間的有8人.
(I)求直方圖中的值及甲班學生每天平均學習時間在區間
的人數;
(II)從甲、乙兩個班每天平均學習時間大于10個小時的學生中任取4人參加測試,設4人中甲班學生的人數為,求
的分布列和數學期望.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為
,平行于
軸的兩條直線
分別交
于
兩點,交
的準線于
兩點 .
(1)若在線段
上,
是
的中點,證明
;
(2)若的面積是
的面積的兩倍,求
中點的軌跡方程.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com