Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣x2﹣ax．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在R上是增函數，求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣2x﹣a，則f′（0）=1﹣a．

由題意知1﹣a=2，即a=﹣1．

∴f（x）=ex﹣x2+x，則f（0）=1．

于是1=2×0+b，b=1．

（Ⅱ）由題意f′（x）≥0，即ex﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣2x恒成立．

設h（x）=ex﹣2x，則h′（x）=ex﹣2．

∴當x∈（﹣∞，ln2）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數；

當x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數．

∴h（x）min=h（ln2）=2﹣2ln2．

∴a≤2﹣2ln2，即a的最大值為2﹣2ln2．

【解析】（Ⅰ）求出f′（x）由f′（0）=1﹣a=2，求得a=﹣1．得到f（x）=ex﹣x2+x，再由f（0）=1求得b值；（Ⅱ）由題意f′（x）≥0，即ex﹣2x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣2x恒成立．令h（x）=ex﹣2x，利用導數求其最小值得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．