Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）．

（1）求函數的單調區間；

（2）設函數，存在，，使得成立成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增，在上單調遞減；（2）

【解析】

試題分析：（1）要求單調區間，先求出導函數，然后解不等式得增區間，解不等式得減區間；（2）要解決本小題的問題，首先進行問題的理解與轉化：“存在，，使得成立成立”，等價于“時，”，這樣下面主要問題是求的最大值與最小值．求出函數式，再求出導數，，由此分類，分三類：，，，分別求得的最大值和最小值，然后解不等式可得的范圍．

試題解析：（1）∵函數的定義域為，，

∴當時，；當時，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減．

（2）假設存在，，使得成立，則．

∵，

∴．

①當時，，在上單調遞減，

所以，就；

②時，，在上單調遞增，

所以，即；

③時，在，，在上單調遞減，在，，在上單調遞增．

所以，即 （*）

由（1）知，在上單調遞減，故，

而，所以不等式（*）無解．

綜上所述，存在，使得命題成立．