Question

【題目】已知函數f（x）=cosx+ax2﹣1，a∈R．
（1）當a=0時，求函數f（x）在 處的切線方程；
（2）當a=1時，求函數f（x）在[﹣π，π]上的最大值和最小值；
（3）若對于任意的實數x恒有f（x）≥0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=0時，f（x）=cosx﹣1，f′（x）=﹣sinx，

∴f′（ ）=﹣1，f（ ）=﹣1，

故切線方程是：y+1=﹣（x﹣ ），

即x+y+ +1=0

（2）解：當a=1時，f（x）=cosx+x2﹣1，f（﹣x）=f（x），是偶函數，

函數f（x）在[﹣π，π]上的最大值及最小值，

即為f（x）在[0，π]上的最大值及最小值，

此時f（x）=cosx+x2﹣1，導數為f′（x）=2x﹣sinx，0≤x≤π，

令g（x）=2x﹣sinx，導數為2﹣cosx＞0，即g（x）遞增，

即有g（x）≥g（0）=0，則f′（x）≥0，即f（x）在[0，π]遞增，

x=0時，取得最小值0，x=π時，取得最大值π2﹣2，

則有函數f（x）在[﹣π，π]上的最大值π2﹣2，

最小值為0

（3）解：對于任意的實數x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax2﹣1≥0，

即ax2≥1﹣cosx≥0，顯然a≥0，

x=0時，顯然成立；由偶函數的性質，只要考慮x＞0的情況．

當x＞0時，a≥ = ，即為2a≥（ ）2，

由x＞0，則 =t＞0，考慮sint﹣t的導數為cost﹣1≤0，

即sint﹣t遞減，即有sint﹣t＜0，即sint＜t，

則有 ＜1，故（ ）2＜1，

即有2a≥1，解得a≥ ．

則實數a的取值范圍為[ ，+∞）．

【解析】（1）求出函數的導數，計算f（ ），f′（ ）的值，代入切線方程整理即可；（2）當a=1時，函數f（x）在[﹣π，π]上的最大值及最小值，即為f（x）在[0，π]上的最大值及最小值，求出導數，求得單調性，即可得到最值；（3）對于任意的實數x恒有f（x）≥0，即有cosx+ax2﹣1≥0，即ax2≥1﹣cosx≥0，顯然a≥0，運用參數分離和二倍角公式可得2a≥（ ）2 ， 求出右邊函數的范圍，即可得到a的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．