Question

【題目】數列的前項和為，且對任意正整數，都有；

（1）試證明數列是等差數列，并求其通項公式；

（2）如果等比數列共有2017項，其首項與公比均為2，在數列的每相鄰兩項與之間插入個后，得到一個新數列，求數列中所有項的和；

（3）如果存在，使不等式成立，若存在，求實數的范圍，若不存在，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）見解析，；（2）；（3）不存在；見解析

【解析】

（1）時，；時，即可證明。

（2）通過題意，寫出前n項和式子，代入即可求得數列中所有項的和；（3）不等式，即不等式

，化為：

驗證：時不等式不成立。時，，，即可求得結論。

（1）證明：時，；

時，

驗證時也成立，所以數列是首項和公差都是1的等差數列。

（2）通過題意， 則

（3）不等式，

即不等式

化為：

因為，，而時不等式不成立。

時，，，因此不存在

使得不等式成立。