Question

【題目】已知函數（且）

（1）判斷并證明的奇偶性；

（2）求使的的取值范圍；

（3）若，是否存在實數，使得有三個不同的零點，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）當時，；當時，；（3）.

【解析】

（1）先求函數的定義域，并判斷關于原點對稱，再利用奇偶性的定義，得到和的關系，從而得到結論．

（2）由對數函數的圖象可知，要使，需分和兩種境況討論．

（3）將函數的零點轉化為研究函數與函數圖象有3個不同的交點，通過函數圖象得到.

（1）函數的定義域為關于原點對稱，

，

函數是奇函數；

（2），即，

即，

①，等價于，等價于，由定義域知0＞．

故對，當時有．

②對，等價于，等價于．

故對，當時有．

綜上可得：當時，；當時，.

（3），

函數有3個不同的零點方程有3個不同的根，

由（1）知所以

所以，

令如圖所示：

當時，，

所以當時，函數與函數圖象有3個不同的交點，

所以當時，函數有3個不同的零點.