Question

⑴ 寫出三個不同的自然數，使得其中任意兩個數的乘積與10的和都是完全平方數，請予以驗證；
⑵ 是否存在四個不同的自然數，使得其中任意兩個數的乘積與10的和都是完全平方數？請證明你的結論．

Answer 1

(Ⅰ)2，3，13  (Ⅱ)略

：對于任意n∈N*，n²≡0，1(mod 4)．設a，b是兩個不同的自然數，①若a≡0(mod 4)或b≡0(mod 4)，或a≡b≡2(mod 4)，均有ab≡0(mod 4)，此時，ab＋10≡2(mod 4)，故ab＋10不是完全平方數；② 若a≡b≡1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，則ab≡1(mod 4)，此時ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方數．由此知，ab＋10是完全平方數的必要不充分條件是ab(mod 4)且a與b均不能被4整除．
⑴ 由上可知，滿足要求的三個自然數是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，則2×3＋10＝4²，2×13＋10＝6²，3×13＋10＝7²．即2，3，13是滿足題意的一組自然數．
⑵ 由上證可知不存在滿足要求的四個不同自然數．
這是因為，任取4個不同自然數，若其中有4的倍數，則它與其余任一個數的積加10后不是完全平方數，如果這4個數都不是4的倍數，則它們必有兩個數mod 4同余，這兩個數的積加10后不是完全平方數．故證．