Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，為等邊三角形，，是的中點.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）取PA的中點N，連結MN，DN，推導出MN∥AB，從而DN⊥MN，AB⊥DN，AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD．

（2）連結BD，CM，由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，推導出CM⊥PB，S△PCB，1，設O為AD的中點，連結PO，由題意得PO⊥AD，推導出PO⊥平面ABCD，設點D到平面PBC的距離為d，由VP﹣BCD＝VD﹣PCB，求出d．由此能求出直線DM與平面PBC所成角的正弦值．

（1）取PA的中點N，連結MN，DN，

∵M，N分別是PB，PA的中點，

∴MN∥AB，且MNAB＝1，

∵DN，DM＝2，∴DN2+MN2＝DM2，

∴DN⊥MN，∴AB⊥DN，

∵AB⊥AD，AD∩DN＝D，∴AB⊥平面PAD.

（2）如圖，連結BD，CM，

由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，

在Rt△PAB中，PB＝2，同理PC，

在梯形ABCD中，BC，BD＝2，

∵PC＝BC，M為PB的中點，∴CM⊥PB，

由題意得S△PCB，

1，

設O為AD的中點，連結PO，由題意得PO⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，PO平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PO⊥平面ABCD，

設點D到平面PBC的距離為d，

∵VP﹣BCD＝VD﹣PCB，∴，

解得d．

∵DM＝2，∴直線DM與平面PBC所成角的正弦值sinθ．