Question

【題目】已知函數，.

（1）求函數的極值；

（2）①討論函數的單調性；

②求證：.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見證明

【解析】

（1）先對函數求導，求出其單調區間，即可得出其極值；

（2）①對函數求導，可得，由（1）的結果，即可確定函數的單調性；

②由①可知，函數在定義域上單調遞減，進而可得對任意恒成立，再令（，且），代入不等式整理即可得出結論成立.

解：（1）.

令，得；令，得，

所以函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

所以-1是函數的一個極大值點，即，無極小值.

（2）①函數的定義域為.

，

由（1）得，的最大值為其極大值，

所以的最大值為.

所以對一切，都有.

所以函數在定義域上單調遞減.

②由①可知，函數在定義域上單調遞減，

則當時，，

即對任意恒成立.

令（，且），得，

得，

得，

得，所以，即.

令，即得.