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【題目】在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線的參數方程為（其中為參數）.在以為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系（兩種坐標系的單位長度相同）中，曲線：的焦點的極坐標為.

（1）求常數的值；

（2）設與交于、兩點，且，求的大小.

【答案】（1）8；（2）或.

【解析】

（1）曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程知曲線C為拋物線，焦點的極坐標方程轉化為直角坐標方程即可求得；（2）將直線的參數方程代入整理得到關于t的一元二次方程，根據韋達定理用表示出、，由得，三個方程聯立即可求出.

（1）曲線方程可化為，其直角坐標方程為.

又焦點的直角坐標為，

所以，解得.

（2）將直線的參數方程代入，并整理得，

其中恒成立，且①，②，

由得，結合①得，.

代入②得，解得.

又因為，所以的大小為或.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，，是某景區的兩條道路（寬度忽略不計，為東西方向），Q為景區內一景點，A為道路上一游客休息區，已知，（百米），Q到直線，的距離分別為3（百米），（百米），現新修一條自A經過Q的有軌觀光直路并延伸至道路于點B，并在B處修建一游客休息區.

（1）求有軌觀光直路的長；

（2）已知在景點Q的正北方6百米的P處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演一次的時長為9分鐘，表演時，噴泉噴灑區域以P為圓心，r為半徑變化，且t分鐘時，（百米）（，）.當噴泉表演開始時，一觀光車S（大小忽略不計）正從休息區B沿（1）中的軌道以（百米/分鐘）的速度開往休息區A，問：觀光車在行駛途中是否會被噴泉噴灑到，并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某土特產超市為預估2020年元旦期間游客購買土特產的情況，對2019年元旦期間的90位游客購買情況進行統計，得到如下人數分布表.

購買金額（元）

人數

10

15

20

15

20

10

（1）根據以上數據完成列聯表，并判斷是否有的把握認為購買金額是否少于60元與性別有關.

不少于60元

少于60元

合計

男

40

女

18

合計

（2）為吸引游客，該超市推出一種優惠方案，購買金額不少于60元可抽獎3次，每次中獎概率為（每次抽獎互不影響，且的值等于人數分布表中購買金額不少于60元的頻率），中獎1次減5元，中獎2次減10元，中獎3次減15元.若游客甲計劃購買80元的土特產，請列出實際付款數（元）的分布列并求其數學期望.

附：參考公式和數據：，.

附表：

2.072

2.706

3.841

6.635

7.879

0.150

0.100

0.050

0.010

0.005

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，為等邊三角形，，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸游），春節是中華民族的傳統節日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現代人們通過貼“�！弊�、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿，某商家在春節前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“�！弊帧⒋郝摵蜔艋\這三類禮品中任意免費領取一件，若有4名顧客都領取一件禮品，則他們中有且僅有2人領取的禮品種類相同的概率是（ ）

A.B.C.D.

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【題目】已知函數，為自然對數的底數.

（1）求函數的極值點；

（2）若對任意，都有，求常數的取值范圍.

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【題目】某工廠，兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監控得知，生產線生產的產品為合格品的概率分別為和.

（1）從，生產線上各抽檢一件產品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.

（2）假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的作為的值.

①已知，生產線的不合格產品返工后每件產品可分別挽回損失元和元。若從兩條生產線上各隨機抽檢件產品，以挽回損失的平均數為判斷依據，估計哪條生產線挽回的損失較多？

②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利元、元、元，現從，生產線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測，結果統計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產一件產品的利潤為，求的分布列并估算該廠產量件時利潤的期望值.

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【題目】某手機商家為了更好地制定手機銷售策略，隨機對顧客進行了一次更換手機時間間隔的調查.從更換手機的時間間隔不少于3個月且不超過24個月的顧客中選取350名作為調查對象，其中男性顧客和女性顧客的比為，商家認為一年以內（含一年）更換手機為頻繁更換手機，否則視為未頻繁更換手機.現按照性別采用分層抽樣的方法從中抽取105人，并按性別分為兩組，得到如下表所示的頻數分布表：

事件間隔（月）

男性

x

8

9

18

12

8

4

女性

y

2

5

13

11

7

2

（1）計算表格中x，y的值；

（2）若以頻率作為概率，從已抽取的105且更換手機時間間隔為3至6個月（含3個月和6個月）的顧客中，隨機抽取2人，求這2人均為男性的概率；

（3）請根據頻率分布表填寫列聯表，并判斷是否有以上的把握認為“頻繁更換手機與性別有關”.

頻繁更換手機

未頻繁更換手機

合計

男性顧客

女性顧客

合計

附表及公式：

P（）

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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【題目】已知函數.

（1）若在處的切線與直線垂直，求的極值；

（2）若函數的圖象恒在直線的下方.

①求實數的取值范圍；

②求證:對任意正整數，都有.

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