Question

【題目】已知函數，其中，設為導函數.

（Ⅰ）設，若恒成立，求的范圍；

（Ⅱ）設函數的零點為，函數的極小值點為，當時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（I）計算的導函數，計算最小值，結合恒不等式，建立不等關系，計算a的范圍，即可。（II）構造函數，判定極小值點，進而得到的單調性，得到

，結合單調性，即可。

（Ⅰ）由題設知，，

，.

當時，，在區間上單調遞減，

當時，，在區間上單調遞增，

故在處取到最小值，且.

由于恒成立，所以.

（Ⅱ）設，則.

設，則，

故在上單調遞增.

因為，所以，,

故存在，使得，

則在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故是的極小值點，因此.

由（Ⅰ）可知，當時，.

因此 ，即單調遞增.

由于，即，即，

所以 .

又由（Ⅰ）可知，在單調遞增，因此.