Question

【題目】設橢圓：的離心率為，橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）6.

【解析】

(1)首先可根據題意得出，然后根據得出，最后通過計算出的值并寫出橢圓方程；

(2)首先可以設、，然后根據直線過點設出直線方程，再然后聯立直線方程與橢圓方程，根據韋達定理得出以及，再然后結合題意得出四邊形是平行四邊形以及其面積，最后通過計算即可得出結果.

(1)因為橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4，

所以，，

因為，所以，

所以橢圓C方程為.

(2)設，，

因為直線過點，所以可設直線方程為，

聯立方程，消去可得：，

化簡整理得，

其中，

，，

因為，所以四邊形是平行四邊形，

設平面四邊形的面積為，

則，

設，則，

所以，

因為，所以，，

所以四邊形面積的最大值為6.