Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設a＞0，證明：當0＜x＜a時，f（x+a）＜f（a﹣x）；
（3）設x1 ， x2是f（x）的兩個零點，證明：f′（ ）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）=x+1﹣a﹣ = ，

若a≤0，則f′（x）＞0，此時f（x）在（0，+∞）遞增，

若a＞0，則由f′（x）=0，解得：x=a，

當0＜x＜a時，f′（x）＜0，

當x＞a時，f′（x）＞0，

此時f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增

（2）解：令g（x）=f（a+x）﹣f（a﹣x），

則g（x）=2x﹣aln（a+x）+aln（a﹣x），

g′（x）=2﹣ ﹣ =﹣ ，

當0＜x＜a時，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）遞減，

而g（0）=0，故g（x）＜g（0）=0，

故0＜x＜a時，f（a+x）＜f（a﹣x）

（3）解：證明：由（1）得，a≤0時，函數y=f（x）至多有1個零點，

故a＞0，從而f（x）的最小值是f（a），且f（a）＜0，

不妨設0＜x1＜x2，則0＜x1＜a＜x2，

∴0＜a﹣x1＜a，

由（2）得：f（2a﹣x1）=f（a+a﹣x1）＜f（x1）=0，

從而x2＞2a﹣x1，于是 ＞a，

由（1）得：f′（ ）＞0

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調性即可；（2）令g（x）=f（a+x）﹣f（a﹣x），求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而證出結論即可；（3）得到a＞0，從而f（x）的最小值是f（a），且f（a）＜0，不妨設0＜x1＜x2 ， 則0＜x1＜a＜x2 ， 得到0＜a﹣x1＜a，根據（1），（2）結論判斷即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．