Question

【題目】已知F1 ， F2分別是橢圓C： =1（a＞b＞0）的兩個焦點，P（1， ）是橢圓上一點，且 |PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差數列．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知動直線l過點F2 ， 且與橢圓C交于A、B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得 =﹣ 恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ |PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差數列，

∴ |PF1|+ |PF2|=2|F1F2|，即2 a=4c，∴a= ．

∴ ，解得 ．

∴橢圓方程為 ．

（2）解：假設在x軸上存在點Q（m，0），使得 恒成立．

① 當直線l的斜率為0時，A（﹣ ，0），B（ ，0）．

∴ =（﹣ ﹣m，0）， =（ ﹣m，0）．

∴ =m2﹣2=﹣ ，解得 或m=﹣ ．

②若直線l斜率不為0，設直線AB的方程為x=ty+1．

聯立方程組 ，消元得：（t2+2）y2+2ty﹣1=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ．

∴x1+x2=t（y1+y2）+2= ，

x1x2=（ty1+1）（ty2+1）=t2y1y2+t（y1+y2）+1= ．

∵ =（x1﹣m，y1）， =（x2﹣m，y2）．

∴ =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2

= ﹣ +m2﹣ = =﹣ ．

∴ ，解得m= ．

綜上，Q點坐標為（ ，0）

【解析】（1）根據橢圓的性質及等差數列性質得出a= c，把P點坐標代入橢圓方程列方程組解出a，b得出橢圓方程；（2）設Q（m，0），當直線斜率為0時，求出A，B坐標，列方程解出m，當直線斜率不為0時，設AB方程為x=ty+1，聯立方程組得出A，B坐標的關系，根據 =﹣ 列方程解出m．