Question

【題目】如圖所示，銳角三角形ABC的內心為I，過點A作直線BI的垂線，垂足為H，點E為圓I與邊CA的切點．

（1）求證A，I，H，E四點共圓；
（2）若∠C=50°，求∠IEH的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由圓I與AC相切于點E得IE⊥AC，結合HI⊥AH，得∠AEI=∠AHI=90°，所以A，I，H，E四點共圓．
（2）解：由（1）知A，I，H，E四點共圓，在此圓中∠IEH與∠IAH對同弧，

∴∠IEH=∠HAI．

∵銳角△ABC的內心為I，

∴AI、BI分別是∠BAC、∠ABC的平分線，

可得∠HIA=∠ABI+∠BAI= ∠ABC+ ∠BAC= （∠ABC+∠BAC）= （180°﹣∠C）=90°﹣ ∠C，

結合IH⊥AH，得∠HAI=90°﹣∠HIA=90°﹣（90°﹣ ∠C）= ∠C，所以∠IEH= ∠C．

由∠C=50°得∠IEH=25°

【解析】（1）由于⊙I切AC于點E，可得IE⊥AC，又AH⊥IH，可得A、I、H、E四點共圓；（2）在此圓中∠IEH與∠IAH對同�。�再利用三角形內角平分線的性質和三角形的內角和定理即可得出．