Question

【題目】已知拋物線上在第一象限內的點H(1，t)到焦點F的距離為2．

(1)若，過點M，H的直線與該拋物線相交于另一點N，求的值；

(2)設A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點，且(其中O為坐標原點)．

①求證：直線AB必過定點，并求出該定點Q的坐標；

②過點Q作AB的垂線與該拋物線交于G、D兩點，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見證明； ②最小值88

【解析】

（1）根據點的坐標和拋物線的定義，求得的值，進而求得拋物線的方程以及點的坐標，由此求得直線的方程，聯立直線的方程和拋物線的方程，求得點的橫坐標，利用拋物線的定義求得的值.（2）①設出直線的方程，與拋物線方程聯立，寫出韋達定理，利用向量數量積的坐標運算，化簡，由此證得直線過定點. ②利用①的結論求得,由此求得四邊形面積的表達式，換元后利用二次函數的單調性來求得四邊形面積的最小值.

解：（1）∵點，∴，解得，

故拋物線E的方程為：，

所以當時，

∴直線的方程為，聯立可得，，

.

（2）①證明：設直線，，

聯立拋物線方程可得，

，

由得：，解得或（舍去），

即，所以直線過定點；

②由①得

同理得，.

則四邊形面積

.

令，則是關于的增函數，

故當時，.當且僅當時取到最小值88.