Question

【題目】線段AB為圓的一條直徑，其端點A，B在拋物線 上，且A，B兩點到拋物線C焦點的距離之和為11.

（1）求拋物線C的方程及直徑AB所在的直線方程；

（2）過M點的直線l交拋物線C于P，Q兩點，拋物線C在P，Q處的切線相交于N點，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）利用拋物線的定義可求出，再利用點差法求出直線的斜率，結合直線過圓心，利用點斜式即可求出直線的方程：

（2）不妨設，，，，，，直線的方程為，與拋物線方程聯立，利用韋達定理和弦長公式可求出，再利用導數的幾何意義求出拋物線在，的切線方程，把點，代入切線的方程得，同理可得：，故， 為一元二次方程的兩根，再次利用韋達定理得，，所以點到直線的距離，所以，故當時，的面積取得最小值，最小值為27.

解：（1）設，拋物線的焦點為F，

則，

又，

拋物線C的方程為：，

由，兩式相減得：，

直線AB的斜率為﹣1，

圓M方程：化為坐標方程為：

，

直線AB過圓心，

直線AB的方程為：，即；

（2）不妨設，

直線l的方程為，

聯立方程，消去y得：，

，

，

拋物線C的方程為，

，

拋物線C在的切線方程為：，

又點在切線PN上，

則，即，

同理可得：，

故為一元二次方程的兩根，

，又，

，

點N到直線PQ的距離

，

，

當時，的面積取得最小值，最小值為27，

面積的取值范圍為：.