Question

已知：x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-6x+5=0的兩根，且，．n∈N^*．
（1）求y₁，y₂，y₃的值；
（2）設z_n=y_ny_n+1，求證：；
（3）求證：對?n∈[2，+∞）有．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據方程的根求出，再根據y_n的表達式和x_n+2關于x_n+1表達式，分別取n=1、2、3即可求出；
（2）根據x_n、y_n各項為正的特征，求出z₁=y₁y₂=26，再根據z_n的表達式及不等式的性質可得z_n＞26（n≥2），最后代入，命題得證；
（3）求出，再通過y_n+1關于y_n的表達式，證出，利用數列的遞推特性進一步證出|y_n+1-y_n|≤，最后用絕對值不等式的性質將|y_2n-y_n|分解為不小于它本身的和：|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|的形式，得出等比數列求和表達式，再將所得結果適當放大，使命題得證．
解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0 得x₁=1，x₂=5，---------------------------------------------1分
∴，------------------------------------------------------------------------------2分 ，
∴，--------------------------------------------------------------------------3分 ，
∴--------------------------------------------4分
（2）由 得 即⇒y_n+1y_n=5y_n+1----------------------6分
當n≥2 時y_n＞5，于是z₁=y₁y₂=26，z_n=y_ny_n+1=5y_n+1＞26 （n≥2 ）
∴--------------------------------------------------------------------9分
（3）當n≥2 時，有 =----------------------------------------12分
∵|y_2n-y_n|=|y_2n-y_2n-1+y_2n-1-y_2n-2+y_2n-2-…+y_n+1-y_n|
∴|y_2n-y_n|≤|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|=
∴對?n∈N^* 有 （n∈N^*）----------------------------------------------14分
點評：把握數列的遞推關系是解決前兩個問題的關鍵，第三問用到數列遞推在不等式中的應用，證明不等式用到絕對值不等式的性質以及不等式放縮的技巧，再與數列的求和相結合，是數列與不等式兩個知識點的完美交匯．