Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）= ，直線l：y=（k﹣3）x﹣k+2
（1）函數f（x）在x=e處的切線與直線l平行，求實數k的值
（2）若至少存在一個x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求實數a的取值范圍
（3）設k∈Z，當x＞1時f（x）的圖象恒在直線l的上方，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=1+lnx，

∴f′（e）=1+lne=k﹣3

∴k=5，

（2）解：由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），

則 ax02＞x0lnx0，

∴a＞

設h（x）=

則h′（x）= ，

當x∈[1，e]時，h′（x）≥0（僅當x=e時取等號）

∴h（x）在[1，e]上單調遞增，

∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0

（3）解：由題意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1時恒成立

即k＜ ，

設F（x）= ，

∴F′（x）= ，

令m（x）=x﹣lnx﹣2，則m′（x）=1﹣ = ＞0在x＞1時恒成立

所以m（x）在（1，+∞）上單調遞增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，

所以在（1，+∞）上存在唯一實數x0（x0∈（3，4））使m（x）=0

當1＜x＜x0時m（x）＜0即F′（x）＜0，

當x＞＜x0時m（x）＞0即F′（x）＞0，

所以F（x）在（1，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，

F（x）min=F（x0）= = =x0+2∈（5，6）

故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值為5

【解析】（1）先求導，根據導數的幾何意義得到關于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），則kx0＞2lnx0a＞ ，只需要k大于h（x）= 的最小值即可．（3）分離參數，得到k＜ ，構造函數，求函數的最小值即可．
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．