Question

【題目】已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.

（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．

（2）點P在直線l：2x－4y＋3＝0上，過點P作圓C的切線，切點記為M，求使|PM|最小的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1） （2＋）x－y＝0或（2－）x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0

（2） （－，）

【解析】（1）將圓C的方程整理，得（x＋1）2＋（y－2）2＝2.

①當切線在兩坐標軸上的截距為零時，設切線方程為y＝kx，

則，解得k＝2±，

從而切線方程為y＝（2±）x.

②當切線在兩坐標軸上的截距不為零時，設切線方程為x＋y－a＝0，則，解得a＝－1或3，

從而切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

綜上，切線方程為（2＋）x－y＝0或（2－）x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

（2）因為圓心C（－1,2）到直線l的距離d＝，所以直線l與圓C相離．

當|PM|取最小值時，|CP|取得最小值，此時CP垂直于直線l.

所以直線CP的方程為2x＋y＝0.

解方程組得點P的坐標為（－，）．