Question

【題目】已知{an}是等差數列，滿足a1=2，a4=14，數列{bn}滿足b1=1，b4=6，且{an﹣bn}是等比數列． （Ⅰ）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若n∈N* ， 都有bn≤bk成立，求正整數k的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設{an}的公差為d，則 ， ∴an=2+（n﹣1）×4=4n﹣2，
故{an}的通項公式為an=4n﹣2（n∈N*）．
設cn=an﹣bn ， 則{cn}為等比數列．
c1=a1﹣b1=2﹣1=1，c4=a4﹣b4=14﹣6=8，
設{cn}的公比為q，則 ，故q=2．
則 ，即 ．
∴ （n∈N*）．
故{bn}的通項公式為 （n∈N*）．
（Ⅱ）由題意，bk應為數列{bn}的最大項．
由 =4﹣2n﹣1（n∈N*）．
當n＜3時，bn+1﹣bn＞0，bn＜bn+1 ， 即b1＜b2＜b3；
當n=3時，bn+1﹣bn=0，即b3=b4；
當n＞3時，bn+1﹣bn＜0，bn＞bn+1 ， 即b4＞b5＞b6＞…
綜上所述，數列{bn}中的最大項為b3和b4 ．
故存在k=3或4，使n∈N* ， 都有bn≤bk成立．
【解析】（Ⅰ）由已知求出數列{an}的通項公式，求出{an﹣bn}的首項和第四項，得到其公比，進一步求其通項公式，則{bn}的通項公式可求；（Ⅱ）由題意，bk應為數列{bn}的最大項．然后求出 ，再對n分類討論求得滿足bn≤bk成立的正整數k的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等差數列的通項公式（及其變式）(通項公式：或)，還要掌握等比數列的通項公式（及其變式）(通項公式：)的相關知識才是答題的關鍵．