Question

已知函數f(x)=lnx，g(x)=k·.
(I)求函數F(x)= f(x)- g(x)的單調區間；
(Ⅱ)當x>1時，函數f(x)> g(x)恒成立，求實數k的取值范圍；
(Ⅲ)設正實數a₁，a₂，a₃，，a_n滿足a₁+a₂+a₃++a_n=1，
求證：ln(1+)+ln(1+)++ln(1+)>．

Answer 1

（1）當時，只有單調遞增區間
當時，單調遞增區間為，
單調遞減區間為  
（2）
（3）由（2）知，在恒成立，那么構造函數借助于單調性來得到求證。

試題分析：解：（Ⅰ）   --- 1分
由的判別式
①當即時，恒成立，則在單調遞增    2分
②當時，在恒成立，則在單調遞增      3分
③當時，方程的兩正根為
則在單調遞增，單調遞減，單調遞增
綜上，當時，只有單調遞增區間
當時，單調遞增區間為，
單調遞減區間為   5分
（Ⅱ）即時，恒成立
當時，在單調遞增 ∴當時，滿足條件  7分
當時，在單調遞減
則在單調遞減
此時不滿足條件
故實數的取值范圍為                                         9分
（Ⅲ）由（2）知，在恒成立
令 則         10分
∴                   11分
又
∴                          13分
∴              
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，解決的關鍵是利用導數的符號判定函數的單調性，進而得到不等式的證明，屬于中檔題。