Question

【題目】已知函數.

(1)若對恒成立，求實數的取值范圍；

(2)已知關于的方程有兩個實根，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】試題分析:（1）由得，求導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號，進而確定單調性，即得最小值，最后利用導數得最小值函數單調性，確定最小值大于零恒成立（2）先根據零點條件解得，根據零點存在條件得范圍，再化簡不等式，構造函數，利用導數確定函數單調性，求得最小值，即證得不等式

試題解析：(1)∵，

∴當時， ，不符合題意，

當時， ，此時遞增，

，此時遞減，

∴，

而是增函數， ，∴.

(2)設，即有兩個零點，

∵，

∴當時， ，則遞減，至多1個零點，不符合題意，

當時， ，此時遞增；

，此時遞減；

∴，解得；

此時，又，∴，不妨設，

由，兩式相減得，

則，

設，則，下證；

設，則，

∴在上遞增，那么，

所以，從而，

又∵，∴，故.