Question

【題目】如圖，已知橢圓的四個頂點分別為,左右焦點分別為，若圓：上有且只有一個點滿足.

（1）求圓的半徑；

（2）若點為圓上的一個動點，直線交橢圓于點，交直線于點，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）半徑為；（2）最大值為.

【解析】

試題分析：（1）先由已知條件,求出點的軌跡方程,再利用兩圓相切,求出圓的半徑,注意范圍；（2）先設出直線方程,由直線與圓的位置關系,求出的范圍,聯立直線與圓的方程,求出點的橫坐標, 直線與直線的交點為點,求出橫坐標,利用相似得出 ,代入,再求出范圍.

試題解析：（1）依題意得，，設點，

由得：，化簡得，

∴點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓.

又∵點在圓上并且有且只有一個點，即兩圓相切，

當兩圓外切時，圓心距，成立；

當兩圓內切時，圓心距，不成立；

∴

（2）設直線為，由，得.

聯立消去并整理得：，解得點的橫坐標為，

把直線與直線:聯立解得點的橫坐標為，

∴

當且僅當時，取等號，

∴的最大值為.