Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的離心率為 ，坐標原點O到過點A（0，﹣b）和B（a，0）的直線的距離為 ．又直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與該橢圓交于不同的兩點C，D．且C，D兩點都在以A為圓心的同一個圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由橢圓 =1（a＞b＞0）的焦點在x軸上，

離心率e= = ，即2a2=3c2，

由題意可知：由△AOB的面積S= ab= ，整理得：a2b2= （a2+b2），

a2=b2+c2，

解得：a2=3，b2=1，c2=1，

∴橢圓的方程

（2）解：由（1）可知： ，消去y整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，

△=36km﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0，解得：3k2＞m2﹣1，

設C（x1，y1），D（x2，y2）．CD的中點為P（x0，y0），

由韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

則y1+y2=k（x1+x2）+2m= ，

由中點坐標公式可知：x0=﹣ ，y0= ，

∴P（﹣ ， ）

依題意，可知AP⊥CD，

∴kAPkCD=﹣1，代入坐標，整理得：3k2=2m﹣1

由①③以及2m﹣1＞0，可解得： ＜m＜2，

由②③，根據弦長公式可知：丨CD丨= 丨x1﹣x2丨= =

點A到CD的距離d= ，

∴S△ACD= d丨CD丨= ，且 ＜m＜2，

令f（x）=x+ ﹣x2（ ＜x＜2），

求導得′（x）=﹣ ﹣2x＜0，

∴f（x）在（ ，2）上單調遞減，

∴S△ACD∈（0， ）．

△ABC面積的取值范圍（0， ）．

【解析】（1）由橢圓 =1（a＞b＞0）的焦點在x軸上，則離心率e= = ，即2a2=3c2 ， 根據三角形面積相等，求得a2b2= （a2+b2），由a2=b2+c2 ， 即可求得a和b的值，求得橢圓的方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，求得3k2＞m2﹣1，根據韋達定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2= ，利用中點坐標公式，求得P點坐標，由kAPkCD=﹣1，即可求得3k2=2m﹣1，代入，由弦長公式可知：丨CD丨= 丨x1﹣x2丨，點A到CD的距離d= ，則S△ACD= d丨CD丨= ，且 ＜m＜2，設f（x）=x+ ﹣x2（ ＜x＜2），求導，利用函數的單調性求得f（x）在（ ，2）上單調遞減，即可求得△ABC面積的取值范圍．