Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R，a為常數）
（1）當a=﹣1時，若方程f（x）= 有實根，求b的最小值；
（2）設F（x）=f（x）e﹣x ， 若F（x）在區間（0，1]上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1時，f（x）=x2+x﹣lnx，

f′（x）=2x﹣1﹣ = ．

當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．

∴f（x）≥f（1）=0．

由f（x）= ，得b=xf（x），

又x＞0，∴b≥0．

即b的最小值為0

（2）解：F（x）=f（x）e﹣x，

F′（x）= ．

設h（x）= ．

則h′（x）=﹣2x+ ，可知h′（x）在（0，1]上為減函數．

從而h′（x）≥h′（1）=2﹣a．

①當2﹣a≥0，即a≤2時，h′（x）≥0，h（x）在區間（0，1]上為增函數，

∵h（1）=0，∴h（x）≤0在區間（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0在區間（0，1]上恒成立．

∴F（x）在區間（0，1]上是減函數，故a≤2滿足題意；

②當2﹣a＜0，即a＞2時，設函數h′（x）的唯一零點為x0，則h（x）在（0，x0）上單調遞增，在（x0，1）上單調遞減．

又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．

∴F（x）在（x0，1）上單調遞增，

∵h（e﹣a）＜0，∴F（x）在（0，e﹣a）上遞減，這與F（x）在區間（0，1]上是單調函數矛盾．

∴a＞2不合題意．

綜合①②得：a≤2

【解析】（1）把a=﹣1代入函數解析式，求導得到導函數的零點，求得原函數的最值，把f（x）= 轉化為b=xf（x），則b的最小值可求；（2）求出F′（x）= ．設h（x）= ，可得h′（x）≥2﹣a．然后分a≤2和a＞2研究F（x）在區間（0，1]上是否為單調函數，從而求得a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．