Question

【題目】已知集合為平面內的一個有限點集, 為平面內的一個正三角形,集合,且.若對任意滿足條件的集合S,均可以被正三角形的兩個平移圖形覆蓋,證明:集合可以被正三角形的兩個平移圖形覆蓋.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明兩個引理

引理1 若兩個三角形、正同位相似,且三角形與三角形的三條邊所在的直線相交,則三角形位于三角形之中此命題顯然成立

引理2 對任何有限點集和任何三角形,均可以找到一個與三角形正同位相似的三角形,使得三角形包含點集,且在三角形的每條邊上均有點集中的點

引理2的證明

顯然存在包含點集且與三角形正同位相似的三角形,考慮其中的一個.若在其某條邊上沒有點集中的點,則通過作以邊所對頂點為中心的位似變換將其縮小,使得該邊與點集相交,并且縮小后的三角形仍然包含點集,對各條邊均如此操作,即可得到所需的三角形.

引理2得證

綜合兩個引理,知三角形的任何包含點集M的同位相似圖形一定包含三角形.

將引理2運用于點集和正三角形,得到一個三角形,不妨稱之為.在邊上分別有點集X中的點,其中,有些點可能重合

若的大小不超過三角形,則題中結論成立.否則,考慮、、,其中, 是以A為中心所作的的位似圖形,其大小與三角形相同,其余兩個三角形的定義類似.因而,它們均為三角形的平移圖形.

再考慮點集X的如下子集:

,

,

.

再證明一個引理

引理3若三角形的某個平移圖形包含點,則圖形就不可能與相交.對于其余情形也有類似的結論

引理3的證明

假設命題不真,于是,三角形與各條邊的直線相交.從而,它包含.而三角形與是全等的三角形,故它們重合.因此,由的定義知三角形不可能與之相交.

引理3得證

對三角形T和集合,運用引理2得到三角形、三角形、三角形,且在它們的邊上可找到分別屬于集合的點(可能有些點相互重合).

由題意,知點集

可被三角形T的某兩個平移圖形所覆蓋故必有一個平移圖形至少蓋住中的兩個點,不妨設.

據引理3,知三角形不可能與集合X相交.從而,點均含于另一個三角形中.再由引理1,知集合被包含于三角形之中,這表明,集合X被和三角形所覆蓋.